在概率论和统计学中，二项分布（英语：Binomial distribution）是
n
{\displaystyle n}
个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为
p
{\displaystyle p}
。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当
n
=
1
{\displaystyle n=1}
时，二项分布就是伯努利分布。二项分布是显著性差异的二项试验的基础。
二项分布
概率质量函数
累积分布函数记号
B(n, p)参数
n
≥
0
{\displaystyle n\geq 0}
试验次数 (整数)
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle 0\leq p\leq 1}
成功概率 (实数)值域
k
∈
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}\!}
概率质量函数
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!}
累积分布函数
I
1
−
p
(
n
−
⌊
k
⌋
,
1
+
⌊
k
⌋
)
{\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!}
期望值
n
p
{\displaystyle n\,p\!}
中位数
{
⌊
n
p
⌋
,
⌈
(
n
+
1
)
p
⌉
}
{\displaystyle \{\lfloor np\rfloor ,\lceil (n+1)p\rceil \}}
之一众数
⌊
(
n
+
1
)
p
⌋
{\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!}
或
⌊
(
n
+
1
)
p
⌋
−
1
{\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!-1}
方差
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle n\,p\,(1-p)\!}
偏度
1
−
2
p
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {1-2\,p}{\sqrt {n\,p\,(1-p)}}}\!}
峰度
1
−
6
p
(
1
−
p
)
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle {\frac {1-6\,p\,(1-p)}{n\,p\,(1-p)}}\!}
熵
1
2
ln
(
2
π
n
e
p
(
1
−
p
)
)
+
O
(
1
n
)
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)\!}
矩生成函数
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
{\displaystyle (1-p+p\,e^{t})^{n}\!}
特征函数
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
{\displaystyle (1-p+p\,e^{i\,t})^{n}\!}
目录
1 详述
1.1 概率质量函数
1.2 累积分布函数（概率分布函数）
2 期望和方差
3 众数和中位数
4 两个二项分布的协方差
5 与其他分布的关系
5.1 二项分布的和
5.2 伯努利分布
5.3 泊松二项分布
5.4 正态近似
5.5 泊松近似
6 极限
7 例子
8 参见
9 参考文献
详述
概率质量函数
一般来说，若随机变量
X
{\displaystyle {\mathit {X}}}
服从参数为
n
{\displaystyle {\mathit {n}}}
和
p
{\displaystyle {\mathit {p}}}
的二项分布，我们记作
X
∼
b
(
n
,
p
)
{\displaystyle X\sim b(n,p)}
或
X
∼
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle X\sim B(n,p)}
。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出：
f
(
k
,
n
,
p
)
=
Pr
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle f(k,n,p)=\Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}
对于
k
=
0
,
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle k=0,1,2,\cdots ,n}
，其中
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
是二项式系数（这就是二项分布的名称的由来），又记为
C
(
n
,
k
)
{\displaystyle C(n,k)}
，
n
C
k
{\displaystyle _{n}C_{k}}
，或
n
C
k
{\displaystyle ^{n}C_{k}}
。该公式可以用以下方法理解：我们希望有
k
{\displaystyle k}
次成功(
p
k
{\displaystyle p^{k}}
)和
n
−
k
{\displaystyle n-k}
次失败
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle (1-p)^{n-k}}
。然而，
k
{\displaystyle k}
次成功可以在
n
{\displaystyle {\mathit {n}}}
次试验的任何地方出现，而把
k
{\displaystyle k}
次成功分布在
n
{\displaystyle {\mathit {n}}}
次试验中共有
C
(
n
,
k
)
{\displaystyle C(n,k)}
个不同的方法。
在制造二项分布概率的参考表格时，通常表格中只填上
n
2
{\displaystyle {\frac {n}{2}}}
个值。这是因为
k
>
n
2
{\displaystyle k>{\frac {n}{2}}}
时的概率可以从它的补集计算出：
f
(
k
;
n
,
p
)
=
f
(
n
−
k
;
n
,
1
−
p
)
{\displaystyle f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p)\,}
因此，我们要看另外一个
k
{\displaystyle k}
和另外一个
p
{\displaystyle p}
（二项分布一般不是对称的）。然而，它的表现不是任意的。总存在一个整数
M
{\displaystyle M}
，满足:
(
n
+
1
)
p
−
1
<
M
≤
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle (n+1)p-1 作为 k {\displaystyle k} 的函数，表达式 f ( k ; n , p ) {\displaystyle f(k;n,p)} 当 k < M {\displaystyle k 时单调递增， k > M {\displaystyle k>M} 时单调递减，只有当 ( n + 1 ) p {\displaystyle (n+1)p} 是整数时例外。在这时，有两个值使 f {\displaystyle f} 达到最大： ( n + 1 ) p {\displaystyle (n+1)p} 和 ( n + 1 ) p − 1 {\displaystyle (n+1)p-1} 。 M {\displaystyle M} 是伯努利试验的最可能的结果，称为众数。注意它发生的概率可以很小。 累积分布函数（概率分布函数） 累积分布函数可以表示为： F ( x ; n , p ) = Pr ( X ≤ x ) = ∑ i = 0 ⌊ x ⌋ ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i {\displaystyle F(x;n,p)=\Pr(X\leq x)=\sum _{i=0}^{\lfloor x\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}} 其中 ⌊ x ⌋ {\displaystyle \lfloor x\rfloor \,} 是小于或等于 x {\displaystyle x} 的最大整数。 它也可以用正则化不完全贝塔函数来表示： F ( k ; n , p ) = Pr ( X ≤ k ) = I 1 − p ( n − k , k + 1 ) = ( n − k ) ( n k ) ∫ 0 1 − p t n − k − 1 ( 1 − t ) k d t {\displaystyle {\begin{aligned}F(k;n,p)&=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1)\\&=(n-k){n \choose k}\int _{0}^{1-p}t^{n-k-1}(1-t)^{k}\,dt\end{aligned}}} 期望和方差 如果 X ∼ B ( n , p ) {\displaystyle X\sim B(n,p)} （也就是说， X {\displaystyle X} 是服从二项分布的随机变量），那么 X {\displaystyle X} 的期望值为 E [ X ] = n p {\displaystyle \operatorname {E} [X]=np} 方差为 Var [ X ] = n p ( 1 − p ) . {\displaystyle \operatorname {Var} [X]=np(1-p).} 这个事实很容易证明。首先假设有一个伯努利试验。试验有两个可能的结果：1和0，前者发生的概率为 p {\displaystyle p} ，后者的概率为 1 − p {\displaystyle 1-p} 。该试验的期望值等于 μ = 1 ⋅ p + 0 ⋅ ( 1 − p ) = p {\displaystyle \mu =1\cdot p+0\cdot (1-p)=p} 。该试验的方差也可以类似地计算： σ 2 = ( 1 − p ) 2 ⋅ p + ( 0 − p ) 2 ⋅ ( 1 − p ) = p ( 1 − p ) {\displaystyle \sigma ^{2}=(1-p)^{2}\cdot p+(0-p)^{2}\cdot (1-p)=p(1-p)} . 一般的二项分布是 n {\displaystyle n} 次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和： μ n = ∑ k = 1 n μ = n p , σ n 2 = ∑ k = 1 n σ 2 = n p ( 1 − p ) . {\displaystyle \mu _{n}=\sum _{k=1}^{n}\mu =np,\qquad \sigma _{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\sigma ^{2}=np(1-p).} 众数和中位数 通常二项分布 B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} 的众数等于 ⌊ ( n + 1 ) p ⌋ {\displaystyle \lfloor (n+1)p\rfloor } ，其中 ⌊ ⋅ ⌋ {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } 是取整函数。然而，当 ( n + 1 ) p {\displaystyle (n+1)p} 是整数且 p {\displaystyle p} 不等于0或1时，分布有两个众数： ( n + 1 ) p {\displaystyle (n+1)p} 和 ( n + 1 ) p − 1 {\displaystyle (n+1)p-1} 。当 p {\displaystyle p} 等于0或1时，众数相应地等于0或 n {\displaystyle n} 。这些情况可以综述如下： mode = { ⌊ ( n + 1 ) p ⌋ 若 ( n + 1 ) p 是 0 或 非 整 数 , ( n + 1 ) p 和 ( n + 1 ) p − 1 若 ( n + 1 ) p ∈ { 1 , … , n } , n 若 ( n + 1 ) p = n + 1. {\displaystyle {\text{mode}}={\begin{cases}\lfloor (n+1)\,p\rfloor &{\text{若 }}(n+1)p{\text{ 是 0 或 非 整 数 }},\\(n+1)\,p\ {\text{ 和 }}\ (n+1)\,p-1&{\text{若 }}(n+1)p\in \{1,\dots ,n\},\\n&{\text{若 }}(n+1)p=n+1.\end{cases}}} 一般地，没有一个单一的公式可以求出二项分布的中位数，甚至中位数可能是不唯一的。然而有几个特殊的结果： 如果 n p {\displaystyle np} 是整数，那么平均数、中位数和众数相等，都等于 n p {\displaystyle np} 。[1][2] 任何中位数 m {\displaystyle m} 都位于区间 ⌊ n p ⌋ ≤ m ≤ ⌈ n p ⌉ {\displaystyle \lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil } 内。[3] 中位数 m {\displaystyle m} 不能离平均数太远： | m − n p | ≤ min { ln 2 , max { p , 1 − p } } {\displaystyle \left\vert m-np\right\vert \leq \min\{\ln 2,\ \max\{p,1-p\}\}} 。[4] 如果 p ≤ 1 − ln 2 {\displaystyle p\leq 1-\ln 2} ，或 p ≥ ln 2 {\displaystyle p\geq \ln 2} ，或 | m − n p | ≤ min { p , 1 − p } {\displaystyle \left\vert m-np\right\vert \leq \min\{p,1-p\}} （除了 p = 1 2 {\displaystyle p={\frac {1}{2}}} 、 n {\displaystyle n} 是奇数的情况以外），那么中位数是唯一的，且等于 m = r o u n d ( n p ) {\displaystyle m=\mathrm {round} (np)} 。[3][4] 如果 p = 1 2 {\displaystyle p={\frac {1}{2}}} ，且 n {\displaystyle n} 是奇数，那么区间 1 2 ( n − 1 ) ≤ m ≤ 1 2 ( n + 1 ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}(n-1)\leq m\leq {\frac {1}{2}}(n+1)} 中的任何数 m {\displaystyle m} 都是二项分布的中位数。如果 p = 1 2 {\displaystyle p={\frac {1}{2}}} 且 n {\displaystyle n} 是偶数，那么 m = n 2 {\displaystyle m={\frac {n}{2}}} 是唯一的中位数。两个二项分布的协方差 如果有两个服从二项分布的随机变量 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} ，我们可以求它们的协方差。利用协方差的定义，当 n = 1 {\displaystyle n=1} 时我们有 Cov ( X , Y ) = E ( X Y ) − μ X μ Y . {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} (XY)-\mu _{X}\mu _{Y}.} 第一项仅当 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 都等于1时非零，而 μ x {\displaystyle \mu _{x}} 和 μ y {\displaystyle \mu _{y}} 分别为 X = 1 {\displaystyle X=1} 和 Y = 1 {\displaystyle Y=1} 的概率。定义 p B {\displaystyle p_{B}} 为 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 都等于1的概率，便得到 Cov ( X , Y ) = p B − p X p Y , {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=p_{B}-p_{X}p_{Y},\,} 对于n次独立的试验，我们便有 Cov ( X , Y ) n = n ( p B − p X p Y ) . {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)_{n}=n(p_{B}-p_{X}p_{Y}).\,} 如果 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 是相同的变量，便化为上面的方差公式。 与其他分布的关系 二项分布的和 如果 X ∼ B ( n , p ) {\displaystyle X\sim B(n,p)} 和 Y ∼ B ( m , p ) {\displaystyle Y\sim B(m,p)} ，且 X {\displaystyle X} 和 Y {\displaystyle Y} 相互独立，那么 X + Y {\displaystyle X+Y} 也服从二项分布；它的分布为 X + Y ∼ B ( n + m , p ) . {\displaystyle X+Y\sim B(n+m,p).\,} 伯努利分布 伯努利分布是二项分布在 n = 1 {\displaystyle n=1} 时的特殊情况。 X ∼ B ( 1 , p ) {\displaystyle X\sim B(1,p)} 与 X ∼ B e r n ( p ) {\displaystyle X\thicksim \mathrm {Bern} (p)} 的意思是相同的。相反，任何二项分布 B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} 都是 n {\displaystyle n} 次独立伯努利试验的和，每次试验成功的概率为 p {\displaystyle p} 。 泊松二项分布 二项分布是泊松二项分布的一个特殊情况。泊松二项分布是 n {\displaystyle n} 次独立、不相同的伯努利试验( p i {\displaystyle p_{i}} )的和。如果 X {\displaystyle X} 服从泊松二项分布，且 p 1 = ⋯ = p n = p {\displaystyle p_{1}=\cdots =p_{n}=p} ，那么 X ∼ B ( n , p ) {\displaystyle X\sim B(n,p)} 。 正态近似 n = 6 {\displaystyle n=6} 、 p = 0.5 {\displaystyle p=0.5} 时的二项分布以及正态近似 如果 n {\displaystyle n} 足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么 B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} 的一个很好的近似是正态分布： N ( n p , n p ( 1 − p ) ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(np,\,np(1-p))} V a r ( x ) = n p ( 1 − p ) {\displaystyle {\mathcal {Var}}(x)=np(1-p)} n {\displaystyle n} 越大（至少30），近似越好，当 p {\displaystyle p} 不接近0或1时更好。[5]不同的经验法则可以用来决定 n {\displaystyle n} 是否足够大，以及 p {\displaystyle p} 是否距离0或1足够远： 一个规则是 n p {\displaystyle np} 和 n ( 1 − p ) {\displaystyle n(1-p)} 都必须大于5。泊松近似 当试验的次数趋于无穷大，而乘积 n p {\displaystyle np} 固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为 λ = n p {\displaystyle \lambda =np} 的泊松分布可以作为二项分布 B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} 的近似，如果 n {\displaystyle n} 足够大，而 p {\displaystyle p} 足够小。[6] 极限 当 n {\displaystyle n} 趋于 ∞ {\displaystyle \infty } ， p {\displaystyle p} 趋于0，而 n p {\displaystyle np} 固定于 λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} ，或至少 n p {\displaystyle np} 趋于 λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} 时，二项分布 B ( n , p ) {\displaystyle B(n,p)} 趋于期望值为λ的泊松分布。当 n {\displaystyle n} 趋于 ∞ {\displaystyle \infty } 而 p {\displaystyle p} 固定时， X − n p n p ( 1 − p ) {\displaystyle {X-np \over {\sqrt {np(1-p)\ }}}} 的分布趋于期望值为 0、方差为 1的正态分布。这个结果是中心极限定理的一个特殊情况。例子 一个简单的例子如下：掷一枚骰子十次，那么掷得4的次数就服从 n = 10 {\displaystyle n=10} 、 p = 1 6 {\displaystyle p={\frac {1}{6}}} 的二项分布。 参见 概率论 概率分布 泊松分布 负二项分布参考文献 ^ Neumann, P. Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung. Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden. 1966, 19: 29–33 （德语）. ^ Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", The Mathematical Gazette 94, 331-332. ^ 3.0 3.1 Kaas, R.; Buhrman, J.M. Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. Statistica Neerlandica. 1980, 34 (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x. ^ 4.0 4.1 Kais Hamza. The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statistics & Probability Letters: 21–25. [2018-04-02]. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-u. （原始内容存档于2020-12-15）. （页面存档备份，存于互联网档案馆） ^ Box, Hunter and Hunter. Statistics for experimenters. Wiley. 1978: 130. ^ NIST/SEMATECH, "6.3.3.1. Counts Control Charts" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, e-Handbook of Statistical Methods.